我认为这个应用可能非常强大。因为概率论中最大的问题之一是： 𝑃(𝐴) 似乎只是一个单一的数字，但实际上，结果取决于观察的尺度。 在尺度物理学的语言中，概率现在变成了： 𝑃 = 𝑃(𝑥, 𝑡, 𝜆) 也就是说，一个事件的概率不是恒定的；它取决于尺度。
1. 经典概率
例如，对于抛硬币，我们说： 𝑃(正面) = 0.5 但如果我们深入细节： 硬币厚度 空气摩擦 抛掷方式 表面结构 都会起作用。 实际上： 𝑃 = 0.5 是一种宏观尺度的近似。
2. 尺度概率
新定义： 𝑃(𝜆) 一个事件的概率可以根据观察的尺度而改变。 例如： 对于一只股票： 在1分钟尺度下 𝑃1 在1小时尺度下 𝑃2 在1个月尺度下 𝑃3 可得出。 这些都是不一样的。
3. 尺度流
类似于量子场论中的“跑动耦合”： 𝛽𝑃 = 𝑑𝑃 / 𝑑𝜆 被定义。 我们可以将其称为： 概率流。 它的含义： 如果 𝛽𝑃 > 0 在更大的尺度下，该事件变得更有可能发生。 如果 𝛽𝑃 < 0 在较大的尺度下，该事件被抑制。
4. 分形概率
在我的方法中，概率可以是一个分形结构： 𝑃(𝜆) = 𝑃0 𝜆^𝛼 这里： 𝛼 是尺度指数。
5. 尺度熵
香农定义了： 𝑆 = − ∑ 𝑝i ln 𝑝i 在尺度物理学中，它变成了： 𝑆𝜆 = − ∑ 𝑃i (𝜆) ln 𝑃i (𝜆) 意思是，熵也是依赖于尺度的。
6. 尺度不确定性
我们之前的定义是： Δ𝜆Δ𝑃𝜆 ≥ Σ/2 现在让我们将其与概率结合起来。 如果它被定义为： 𝑃𝜆 = 𝜕𝑃 / 𝜕𝜆 我们得到： Δ𝜆Δ (𝜕𝑃 / 𝜕𝜆) ≥ Σ/2 含义： 如果你非常精确地知道概率是在哪个尺度上定义的，那么当尺度发生变化时，你就无法精确地知道它将如何表现。
7. 尺度薛定谔概率
我们之前的方程是： 𝑖ℏ (𝜕Ψ/𝜕𝑡) + 𝑖Σ (𝜕Ψ/𝜕𝜆) = . . . 相应地，它变成了： 𝑃(𝑥, 𝜆, 𝑡) = ∣Ψ∣² 现在，概率： 在空间中传播， 在时间中演化， 并在尺度上扩散。
8. 尺度扩散方程
经典随机游走： 𝜕𝑃 / 𝜕𝑡 = 𝐷∇ 𝑃 在尺度物理学中，它变成了： 𝜕𝑃 / 𝜕𝑡 = 𝐷x ∇² 𝑃 + 𝐷𝜆 (𝜕² 𝑃 / 𝜕𝜆²) 这非常重要。 因为现在不确定性不仅在空间中扩散，而且在尺度之间扩散。
9. 与分形统计学的联系
在这一点上，尺度物理学与我试图发展的分形统计学相融合： 如果 𝑃 = 𝑃(𝑥, 𝑡, 𝜆) 且 𝜕𝑃 / 𝜕𝜆 ≠ 0 经典统计学就显得不足了。 因为分布本身受到尺度的影响。 在这种情况下，基本方程可以是： 𝜕𝑃 / 𝜕𝑡 = 𝐷x ∇² 𝑃 + 𝐷𝜆 (𝜕² 𝑃 / 𝜕𝜆²) + 𝑅(𝑃, 𝜆) 这里： 第一项是时间扩散， 第二项是跨尺度扩散， 第三项是尺度相互作用。
尺度物理学的概率解释
用一句话来说： 概率不是一个数字，而是在尺度空间中运动的动态场。 在这种观点下，不存在50%概率这样的绝对概念。只有： 𝑃(𝜆) 针对特定尺度的。随着尺度的变化，概率也在演化。这构成了一个与我的分形统计学目标高度兼容的基本原则。
让我们写出概率流方程
在尺度物理学的框架内，概率流必须是经典连续性方程向尺度空间的扩展。 经典概率守恒： ( 𝜕𝑃 / 𝜕𝑡 ) + ∇ ⋅ 𝐽 = 0 这里： 𝑃 = 概率密度 𝐽 = 概率通量
尺度通量
让我们在尺度空间中定义一个新的通量： 𝐽𝜆 = 𝑢𝜆 𝑃 这里： 𝑢𝜆 = 尺度速度 𝑃 = 概率密度
基本概率流方程
因此，总守恒定律变成了： ( 𝜕𝑃 / 𝜕𝑡 ) + ∇ ⋅ 𝐽 + ( 𝜕𝐽𝜆 / 𝜕𝜆 ) = 0 这个方程是尺度物理学中的概率守恒定律。
显式形式
( 𝜕𝑃 / 𝜕𝑡 ) + ∇ ⋅ (𝑃𝑣) + ( 𝜕 / 𝜕𝜆 ) (𝑃𝑢𝜆) = 0 这里： 𝑣 = 空间速度 𝑢𝜆 = 尺度速度
分形统计学解释
这个方程具有非常重要的物理意义： 有两种类型的流： 空间流 ∇ ⋅ (𝑃𝑣) 粒子位置的变化。 尺度流 𝜕 / 𝜕𝜆 (𝑃𝑢𝜆) 概率在尺度之间的转移。
稳态尺度定律
如果系统与时间无关： 𝜕𝑃 / 𝜕𝑡 = 0 因此，可以得出： ∇ ⋅ (𝑃𝑣) + ( 𝜕 / 𝜕𝜆 ) (𝑃𝑢𝜆) = 0
纯尺度流
如果我们只研究尺度动力学： ( 𝜕𝑃 / 𝜕𝑡 ) + ( 𝜕 / 𝜕𝜆 ) (𝑃𝑢𝜆) = 0 这可以被认为是尺度物理学中最基本的概率方程。
如果加入尺度扩散
真实的系统中存在随机性。 然后，类似于菲克定律，我们取： 𝐽𝜆 = 𝑢𝜆 𝑃 − 𝐷𝜆 ( 𝜕𝑃 / 𝜕𝜆 ) 将其代入，我们得到： ( 𝜕𝑃 / 𝜕𝑡 ) = − ( 𝜕 / 𝜕𝜆 ) (𝑃𝑢𝜆) + 𝐷𝜆 ( 𝜕² 𝑃 / 𝜕𝜆² )
在我看来，这个方程是我分形统计学工作的最合适候选者。因为该方程同时包含了两种机制： − ( 𝜕 / 𝜕𝜆 ) (𝑃𝑢 ) → 确定性尺度流 以及 𝐷𝜆 ( 𝜕² 𝑃 / 𝜕𝜆² ) → 跨尺度随机扩散。
因此，概率现在变成了一个不仅在时间上，而且在尺度空间中流动、扩散和演化的场： 𝑃 = 𝑃(𝑥, 𝑡, 𝜆) 这可以作为尺度物理学和分形统计学相融合的基本方程。
让我们写出这个方程的解。
这个方程： 𝜕𝑃 / 𝜕𝑡 = − ( 𝜕 / 𝜕𝜆 ) (𝑃𝑢𝜆) + 𝐷𝜆 ( 𝜕² 𝑃 / 𝜕𝜆² ) 实际上在数学上是一个对流-扩散（福克-普朗克）型方程。它在尺度物理学中的解释是： 第一项 = 尺度间的定向流 第二项 = 尺度间的扩散 现在让我们推导出几个基本解。
1. 稳态解
如果： 𝜕𝑃 / 𝜕𝑡 = 0 那么： ( 𝜕 / 𝜕𝜆 ) (𝑃𝑢𝜆) = 𝐷𝜆 ( 𝜕² 𝑃 / 𝜕𝜆² ) 即可得出。 如果尺度速度是恒定的： 𝑢𝜆 = 𝑢0 解变为： 𝑃(𝜆) = 𝑃0 𝑒^(𝑢0 / 𝐷𝜆) 𝜆 这非常重要。 因为它给出了跨尺度的指数增长或衰减。
2. 纯尺度扩散
如果： 𝑢𝜆 = 0 方程变为： 𝜕𝑃 / 𝜕𝑡 = 𝐷𝜆 ( 𝜕² 𝑃 / 𝜕𝜆² ) 对于最初的单尺度状态： 𝑃(𝜆, 0) = 𝛿(𝜆 − 𝜆0) 解是： 𝑃(𝜆, 𝑡) = 1 / (4𝜋𝐷𝜆 𝑡)^(1/2) exp [− (𝜆 − 𝜆0)² / 4𝐷𝜆 𝑡 ] 这个结果说明了什么？ 最初，存在一个单一尺度。 随着时间的推移： 它扩散到相邻的尺度， 尺度不确定性增加。 这简直就是“尺度布朗运动”。
3. 恒定尺度流
如果： 𝑢𝜆 = 𝑢0 是恒定的： 𝜕𝑃 / 𝜕𝑡 = −𝑢0 ( 𝜕𝑃 / 𝜕𝜆 ) + 𝐷𝜆 ( 𝜕² 𝑃 / 𝜕𝜆² ) 解变为： 𝑃(𝜆, 𝑡) = 1 / ( 4𝜋𝐷𝜆 𝑡 )^(1/2) exp [− (𝜆 − 𝜆0 – 𝑢0 𝑡)² / 4𝐷𝜆 𝑡 ] 这具有非常美妙的物理意义。 中心以此运动： 𝜆c = 𝜆0 + 𝑢0 𝑡 意思是，系统随着时间的推移而改变尺度。
4. 分形幂律解
对于我的分形方法来说，一个更有趣的解的形式是： 𝑃(𝜆) = 𝐴𝜆^(-α) 在这种情况下，形成以下尺度分布： 𝑃(𝜆) ∝ 𝜆^(-α) 这是一个典型的分形分布，类似于： 地震分布， 城市规模， 金融走势， 星系团。
5. 尺度本征函数
对于离散的尺度水平，它被写成： 𝑃(𝜆, 𝑡) = 𝜙(𝜆)𝑒^(-𝜔𝑡) 将其代入得出： 𝐷𝜆 𝜙” − 𝑢𝜆 𝜙’ + 𝜔𝜙 = 0 其解是以下形式的尺度波： 𝜙n (𝜆) = 𝑒^(ikn𝜆)
6. 尺度物理学中最有趣的解
从分形统计学的角度来看，最自然的稳态解是： 𝑃(𝜆) = 𝐶𝑒^(–β𝜆) 因为如果我们使用定义： 𝜆 = ln(𝐿/𝐿0) 它导致： 𝑃(𝐿) = 𝐶𝐿^(–β) 这个结果非常重要： 指数尺度解 → 转化为物理长度上的幂律。 意思是，尺度流方程自然地产生以下形式的分形分布： 𝑃(𝐿) ∝ 𝐿^(–β) 这对我的分形统计学研究来说是一个非常强大的结果。 因为幂律在这里不是作为假设出现的，而是作为尺度流方程的自然稳态解出现的。因此，尺度物理学的首批可检验预测之一可能是： 达到平衡的系统在尺度空间中产生指数分布，在物理空间中产生幂律分布。 这个结果可以直接与分形维数、赫斯特指数和多重分形谱相关联。