Я считаю, что это применение может быть очень мощным. Потому что одна из самых больших проблем в теории вероятностей заключается в следующем: 𝑃(𝐴) выглядит как одно число, но в реальности результаты зависят от масштаба наблюдения. На языке физики масштаба вероятность теперь принимает вид: 𝑃 = 𝑃(𝑥, 𝑡, 𝜆) То есть вероятность события не постоянна; она зависит от масштаба.
1. Классическая вероятность
Например, для подбрасывания монеты мы говорим: 𝑃(Орел) = 0.5 Но если мы вдадимся в детали: толщина монеты трение воздуха способ броска структура поверхности вступают в дело. На самом деле: 𝑃 = 0.5 это макромасштабное приближение.
2. Масштабная вероятность
Новое определение: 𝑃(𝜆) Вероятность события может изменяться в зависимости от масштаба наблюдения. Пример: Для акции: на 1-минутном масштабе 𝑃1 на 1-часовом масштабе 𝑃2 на 1-месячном масштабе 𝑃3 получается. Они не одинаковы.
3. Поток масштаба
Подобно «бегущей константе связи» в квантовой теории поля: 𝛽𝑃 = 𝑑𝑃 / 𝑑𝜆 определяется. Мы можем назвать это: поток вероятности. Его смысл: Если 𝛽𝑃 > 0 событие становится более вероятным на более высоких масштабах. Если 𝛽𝑃 < 0 событие подавляется на крупных масштабах.
4. Фрактальная вероятность
В моем подходе вероятность может иметь фрактальную структуру: 𝑃(𝜆) = 𝑃0 𝜆𝛼
Здесь: 𝛼 показатель масштаба (масштабная экспонента).
5. Энтропия масштаба
Шеннон определил: 𝑆 = − ∑ 𝑝i ln 𝑝i
В физике масштаба это становится: 𝑆𝜆 = − ∑ 𝑃i (𝜆) ln 𝑃i (𝜆)
То есть энтропия также зависит от масштаба.
6. Неопределенность масштаба
Наше предыдущее определение было: Δ𝜆Δ𝑃𝜆 ≥ Σ/2
Теперь давайте объединим это с вероятностью. Если оно определяется как: 𝑃𝜆 = 𝜕𝑃 / 𝜕𝜆
мы получаем: Δ𝜆Δ (𝜕𝑃 / 𝜕𝜆) ≥ Σ/2
Смысл: Если вы очень точно знаете, на каком масштабе определена вероятность, вы будете менее точно знать, как она себя поведет при изменении масштаба.
7. Масштабная шредингеровская вероятность
Наше предыдущее уравнение было: 𝑖ℏ (𝜕Ψ/𝜕𝑡) + 𝑖Σ (𝜕Ψ/𝜕𝜆) = . . .
Соответственно, оно становится: 𝑃(𝑥, 𝜆, 𝑡) =∣ Ψ ∣2
Теперь вероятность: распространяется в пространстве, эволюционирует во времени, и распространяется по масштабам.
8. Уравнение диффузии масштаба
Классическое случайное блуждание: 𝜕𝑃 / 𝜕𝑡 = 𝐷∇ 𝑃 В физике масштаба оно становится: 𝜕𝑃 / 𝜕𝑡 = 𝐷x ∇2 𝑃 + 𝐷𝜆 (𝜕2 𝑃 / 𝜕𝜆2)
Это очень важно. Потому что теперь неопределенность распространяется не только в пространстве, но и между масштабами.
9. Связь с фрактальной статистикой
На этом этапе физика масштаба объединяется с фрактальной статистикой, которую я пытаюсь разработать: Если 𝑃 = 𝑃(𝑥, 𝑡, 𝜆) и 𝜕𝑃 / 𝜕𝜆 ≠ 0 классическая статистика оказывается недостаточной. Потому что само распределение подвержено влиянию масштаба. В этом случае фундаментальным уравнением может быть: 𝜕𝑃 / 𝜕𝑡 = 𝐷x ∇2 𝑃 + 𝐷𝜆 (𝜕2 𝑃 / 𝜕𝜆2) + 𝑅(𝑃, 𝜆)
Здесь: первый член — временное распространение, второй член — распространение между масштабами, третий член — взаимодействие масштабов.
Вероятностная интерпретация физики масштаба
В одном предложении: Вероятность — это не число, а динамическое поле, движущееся в пространстве масштабов. При таком подходе нет абсолютного понятия, такого как 50% вероятность. Есть только: 𝑃(𝜆) для определенного масштаба. По мере изменения масштаба вероятность эволюционирует. Это составляет фундаментальный принцип, который в высшей степени совместим с моей целью создания фрактальной статистики.
Давайте запишем уравнение потока вероятности
В рамках физики масштаба поток вероятности должен быть расширением классического уравнения неразрывности в пространство масштабов. Классическое сохранение вероятности: ( 𝜕𝑃 / 𝜕𝑡 ) + ∇ ⋅ 𝐽 = 0
Здесь:
- 𝑃 = плотность вероятности
- 𝐽 = поток вероятности
Поток масштаба
Давайте определим новый поток в пространстве масштабов: 𝐽𝜆 = 𝑢𝜆 𝑃
Здесь:
- 𝑢𝜆 = скорость масштаба
- 𝑃 = плотность вероятности
Фундаментальное уравнение потока вероятности
Таким образом, общий закон сохранения становится:
( 𝜕𝑃 / 𝜕𝑡 ) + ∇ ⋅ 𝐽 + ( 𝜕𝐽𝜆 / 𝜕𝜆 ) = 0
Это уравнение является законом сохранения вероятности в физике масштаба.
Явная форма
( 𝜕𝑃 / 𝜕𝑡 ) + ∇ ⋅ (𝑃𝑣) + ( 𝜕 / 𝜕𝜆 ) (𝑃𝑢𝜆) = 0
Здесь:
- 𝑣 = пространственная скорость
- 𝑢𝜆 = скорость масштаба
Интерпретация фрактальной статистики
Это уравнение имеет очень важный физический смысл: Существуют два типа потока: Пространственный поток ∇ ⋅ (𝑃𝑣) Изменение положения частиц. Поток масштаба
𝜕 / 𝜕𝜆 (𝑃𝑢𝜆)
Передача вероятности между масштабами.
Стационарный закон масштаба
Если система не зависит от времени: 𝜕𝑃 / 𝜕𝑡 = 0 Следовательно, получается:
∇ ⋅ (𝑃𝑣) + ( 𝜕 / 𝜕𝜆 ) (𝑃𝑢𝜆) = 0
Чистый поток масштаба
Если мы исследуем только динамику масштаба:
( 𝜕𝑃 / 𝜕𝑡 ) + ( 𝜕 / 𝜕𝜆 ) (𝑃𝑢𝜆) = 0
Это можно считать самым фундаментальным уравнением вероятности физики масштаба.
Если добавлена диффузия масштаба
В реальных системах присутствует случайность. Тогда, подобно закону Фика, мы принимаем:
𝐽𝜆 = 𝑢𝜆 𝑃 − 𝐷𝜆 ( 𝜕𝑃 / 𝜕𝜆 )
Подставив это, получаем:
( 𝜕𝑃 / 𝜕𝑡 ) = − ( 𝜕 / 𝜕𝜆 ) (𝑃𝑢𝜆) + 𝐷𝜆 ( 𝜕2 𝑃 / 𝜕𝜆2 )
На мой взгляд, это уравнение является наиболее подходящим кандидатом для моей работы по фрактальной статистике. Потому что это уравнение включает в себя два механизма вместе:
− ( 𝜕 / 𝜕𝜆 ) (𝑃𝑢 )
→ детерминированный поток масштаба и
𝐷𝜆 ( 𝜕2 𝑃 / 𝜕𝜆2 )
→ случайное распространение (диффузия) между масштабами.
Таким образом, вероятность теперь становится полем, которое течет, распространяется и эволюционирует не только во времени, но и в пространстве масштабов: 𝑃 = 𝑃(𝑥, 𝑡, 𝜆) Это можно принять за фундаментальное уравнение, в котором объединяются физика масштаба и фрактальная статистика.
Давайте напишем решения для этого уравнения.
Это уравнение:
𝜕𝑃 / 𝜕𝑡 = − ( 𝜕 / 𝜕𝜆 ) (𝑃𝑢𝜆) + 𝐷𝜆 ( 𝜕2 𝑃 / 𝜕𝜆2 )
математически на самом деле является уравнением типа адвекции-диффузии (Фоккера-Планка). Его интерпретация в физике масштаба: Первый член = направленный поток между масштабами Второй член = распространение между масштабами Теперь давайте выведем несколько фундаментальных решений.
1. Стационарное решение
Если: 𝜕𝑃 / 𝜕𝑡 = 0 то: ( 𝜕 / 𝜕𝜆 ) (𝑃𝑢𝜆) = 𝐷𝜆 ( 𝜕2 𝑃 / 𝜕𝜆2 ) получается. Если скорость масштаба постоянна: 𝑢𝜆 = 𝑢0 решение становится: 𝑃(𝜆) = 𝑃0 𝑒 (𝑢0 / 𝐷𝜆) 𝜆 Это очень важно. Потому что оно дает экспоненциальный рост или затухание по масштабам.
2. Чистая диффузия масштаба
Если: 𝑢𝜆 = 0 уравнение становится: 𝜕𝑃 / 𝜕𝑡 = 𝐷𝜆 ( 𝜕² 𝑃 / 𝜕𝜆² ) Для начального одномасштабного состояния: 𝑃(𝜆, 0) = 𝛿(𝜆 − 𝜆0) решение таково: 𝑃(𝜆, 𝑡) = 1 / (4𝜋𝐷𝜆 𝑡)1/2 exp [− (𝜆 − 𝜆0)2 / 4𝐷𝜆 𝑡 ] О чем говорит этот результат? Изначально существует единственный масштаб. Со временем: он распространяется на соседние масштабы, неопределенность масштаба возрастает. Это буквально «масштабное броуновское движение».
3. Постоянный поток масштаба
Если: 𝑢𝜆 = 𝑢0 постоянно: 𝜕𝑃 / 𝜕𝑡 = −𝑢0 ( 𝜕𝑃 / 𝜕𝜆 ) + 𝐷𝜆 ( 𝜕2 𝑃 / 𝜕𝜆2 )
Решение становится:
𝑃(𝜆, 𝑡) = 1 / ( 4𝜋𝐷𝜆 𝑡 )1/2 exp [− (𝜆 − 𝜆0 – 𝑢0 𝑡)2 / 4𝐷𝜆 𝑡 ]
Это несет в себе очень красивый физический смысл. Центр движется с:
𝜆c = 𝜆0 + 𝑢0 𝑡
То есть система меняет масштаб с течением времени.
4. Решение фрактального степенного закона
Более интересное решение для моего фрактального подхода имеет вид:
𝑃(𝜆) = 𝐴𝜆-α
В этом случае формируется масштабное распределение:
𝑃(𝜆) ∝ 𝜆-α
формируется. Это типичное фрактальное распределение, похожее на: распределения землетрясений, размеры городов, финансовые движения, скопления галактик.
5. Собственные функции масштаба
Для дискретных уровней масштаба записывается как:
𝑃(𝜆, 𝑡) = 𝜙(𝜆)𝑒-𝜔𝑡
Подстановка этого дает:
𝐷𝜆 𝜙” − 𝑢𝜆 𝜙’ + 𝜔𝜙 = 0
Решениями являются масштабные волны в виде:
𝜙n (𝜆) = 𝑒ikn𝜆
6. Самое интересное решение физики масштаба
Наиболее естественным стационарным решением с точки зрения фрактальной статистики является:
𝑃(𝜆) = 𝐶𝑒 –β𝜆
Потому что если мы используем определение:
𝜆 = ln(𝐿/𝐿0)
это приводит к:
𝑃(𝐿) = 𝐶𝐿–β
Этот результат очень важен: Экспоненциальное решение масштаба → превращается в степенной закон по физической длине. Это означает, что уравнение потока масштаба естественным образом создает фрактальные распределения в виде:
𝑃(𝐿) ∝ 𝐿–β
И это очень сильный результат для моих исследований по фрактальной статистике. Потому что степенные законы возникают здесь не как допущения, а как естественные стационарные решения уравнения потока масштаба. По этой причине одним из первых проверяемых предсказаний физики масштаба может быть следующее: Системы, достигающие равновесия, создают экспоненциальное распределение в пространстве масштабов и степенное распределение в физическом пространстве. Этот результат может быть напрямую связан с фрактальной размерностью, показателем Херста и мультифрактальным спектром.