Основные аксиомы физики масштаба

Я пишу это как набросок основополагающих аксиом для физики масштаба. Моя цель — сначала закрепить концептуальную основу, а затем создать структуру, из которой с помощью этих аксиом можно будет вывести законы преобразования, динамические уравнения и проверяемые следствия.

Введение

В стандартном физическом описании состояние системы определяется такими физическими величинами, как положение, время, импульс, энергия и поле. Физика масштаба дополнительно предполагает, что масштаб наблюдения является неотъемлемой переменной физического описания.

Поэтому общее физическое состояние рассматривается не только как

$$X=X(x,t)$$

но и в виде

$$X=X(x,t,s)$$

Здесь $s$ представляет физический масштаб, в котором исследуется система.

Исходя из этого, я предлагаю следующие аксиомы.

Аксиома 1: Масштаб является фундаментальной переменной физического состояния

Полное описание физической системы не может быть завершено только заданием пространственных и временных координат. Также необходимо указать, в каком масштабе определена система.

Следовательно:

$$\mathrm{\Psi }=\mathrm{\Psi }(x,t,s)$$

Здесь:

• $x$: пространственное состояние,
• $t$: временное состояние,
• $s$: масштаб наблюдения или взаимодействия.

Следствие

Одна и та же система может демонстрировать различное эффективное физическое поведение в масштабах $s_1\mathrm{\ne }{s}_2$.

Поэтому в общем случае должно допускаться, что:

$$\mathrm{\Psi }(x,t,s_1)\mathrm{\ne }\mathrm{\Psi }(x,t,s_2)$$

Это фундаментальная аксиома физики масштаба.

Аксиома 2: Физические величины могут зависеть от масштаба

Значение измеренной физической величины не обязательно должно быть независимым от масштаба во всех случаях.

Общая физическая величина может быть выражена как:

$$Q=Q(s)$$

Между двумя масштабами существует преобразование:

$$Q(s_1)\to Q(s_2)$$

В простом случае самоподобия это преобразование может иметь вид:

$$Q(\lambda s)={\lambda }^{{\alpha }_Q}Q(s)$$

Здесь ${\alpha }_Q$ — показатель масштаба соответствующей величины.

Эта конкретная форма является не аксиомой, а моделью, которая может быть выведена из аксиомы или проверена экспериментально. Мы должны особо сохранять это различие.

Аксиома 3: Изменение масштаба является физическим преобразованием

Переход от одного масштаба к другому математически представляется оператором преобразования:

$$S_{\lambda }:\mathrm{\Psi }(x,t,s)\to {\mathrm{\Psi }}^{\mathrm{\prime }}(x^{\mathrm{\prime }},t^{\mathrm{\prime }},\lambda s)$$

Здесь $\lambda$ — коэффициент масштабного преобразования.

Следовательно, одной из фундаментальных математических проблем физики масштаба является:

$$S_{\lambda }=?$$

Продвинутая форма теории должна четко определять, как этот оператор преобразует те или иные величины.

Например, необходимо дополнительно вывести, какие из преобразований:

• $x\to x^{\mathrm{\prime }}$
• $t\to t^{\mathrm{\prime }}$
• $E\to E^{\mathrm{\prime }}$
• $p\to p^{\mathrm{\prime }}$
• $m\to m^{\mathrm{\prime }}$ являются физическими.

Аксиома 4: Форма физических законов должна быть отделена от наблюдаемого эффективного поведения

Наблюдаемое физическое поведение может меняться при изменении масштаба. Однако это не обязательно означает, что изменился фундаментальный закон природы.

Поэтому делается различие:Фундаментальный закон $\mathrm{\ne }$эффективный закон, специфичный для масштаба

В сильной форме физики масштаба цель состоит в том, чтобы определить эффективные законы, наблюдаемые в разных масштабах, в рамках единой надстройки.

Символически это можно представить как:

$${\mathcal{L}}_s={\mathcal{T}}_s({\mathcal{L}}_0)$$

Здесь ${\mathcal{L}}_0$ представляет фундаментальную структуру, а ${\mathcal{L}}_s$ представляет эффективную динамику,наблюдаемую в определенном масштабе.

Аксиома 5: Физические структуры могут сохранять мотивы в разных масштабах

Система не обязана быть абсолютно идентичной в разных масштабах. Однако определенные структурные отношения могут сохраняться.

Эту сохраняющуюся структуру мы можем назвать масштабным мотивом.

Пусть мотив обозначается как:

$$M(s)$$

В самоподобной системе это может быть:

$$M(s)\sim M(\lambda s)$$

Однако «подобие» не обязательно означает геометрическое равенство.

Сохраняющимся свойством может быть:

• топологическая структура,
• сеть взаимодействий,
• корреляция,
• пропорция,
• динамическая связь,
• статистическое распределение.

Таким образом, фрактальность превращается в более общее понятие, чем чисто геометрическое самоподобие.

Аксиома 6: Точное самоподобие между масштабами не является обязательным

Реальным физическим системам не нужно вести себя одинаково на бесконечном числе масштабов, подобно идеальным математическим фракталам.

Поэтому отношение:

$$M(s_1)\simeq M(s_2)$$

может быть справедливо в пределах определенного диапазона масштабов.

То есть: В то время как фрактальное или масштабно-инвариантное поведение присутствует в диапазоне $s_{min}<s<s_{max}$​, за его пределами могут возникать иные физические режимы.

Эта аксиома важна, поскольку она предотвращает превращение физики масштаба в неоправданно сильное утверждение вроде всё является фрактальным в любом масштабе.

Аксиома 7: Существуют смены режимов между масштабами

Поведение системы может изменяться с масштабом непрерывно, но оно также может демонстрировать качественные изменения при определенных критических масштабах.

Для критического масштаба $s=s_c$s=sc​ в областях $s<s_c$ и $s>s_c$ могут возникать различные эффективные физические режимы.

Следовательно, масштабное пространство физической реальности можно разделить на режимы следующим образом:

$$S=\{R_1,R_2,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.},R_n\}$$

В дальнейшем эта идея может лечь в основу теории критических масштабных точек.

Аксиома 8: Комбинированный эффект компонентов не обязательно сводится к сумме отдельных эффектов

В многокомпонентных системах:

$$E_{system}$$​

в общем случае не обязательно тождественно

$$\sum _i{E}_i$$

Кооперативный член может быть определен как:

$$C=E_{system}-\sum _i{E}_i$$

Таким образом, мы получаем:

$$E_{system}=\sum _i{E}_i+C$$

Здесь $C$C может служить самой фундаментальной математической отправной точкой Кооперативного фрактального эффекта.

В более общем случае, поскольку:

$$C=C(s)$$

кооперативный эффект также зависит от масштаба.

Аксиома 9: Кооперативный эффект может достигать насыщения

Кооперативный эффект не обязательно должен безгранично возрастать по мере роста системы.

В определенных системах может возникать насыщение в виде:

$$C(N)\to C_{max}(N\to \mathrm{\infty })$$

Для такой системы можно определить:

$$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }C(N)=C_{max}$$

Однако здесь снова нужно быть осторожным: Насыщение не должно возводиться в ранг универсальной физической аксиомы.

Более надежный фундаментальный принцип таков: Функциональная форма кооперативного эффекта, зависящая от масштаба и размера системы, определяется самой физической системой; в некоторых системах этот эффект может приближаться к конечному значению насыщения.

Таким образом, насыщенный КФЭ становится конкретной моделью и не смешивается с базовой теорией.

Аксиома 10: Масштаб наблюдения и физический масштаб должны быть разделены

Это различие весьма важно для будущего теории.

Определим фактический характерный масштаб системы как:

$$s_p$$

а разрешение наблюдения/измерения как:

$$s_o$$

В общем случае может быть так, что:

$$s_p\mathrm{\ne }{s}_o$$

Наблюдаемая величина предстает как:

$$Q_{obs}=M(Q,s_p,s_o)$$

Следовательно, на измеряемое поведение может влиять не только сама система, но и отношение между масштабом системы и масштабом наблюдения.

Этот момент может сформировать математическую основу концепции «масштабной слепоты».

Аксиома 11: Масштабная слепота может привести к неполному эффективному описанию

Если метод наблюдения не способен разрешить структуру на определенных масштабах, наблюдаемая система может не отражать всю масштабную структуру физической системы.

Символически:

$${\mathrm{\Psi }}_{obs}={\mathcal{P}}_{s_0}[\mathrm{\Psi }]$$

Здесь ${\mathcal{P}}_{s_0}$​ можно рассматривать как проекцию, выбирающую информацию, допускаемую масштабом наблюдения.

Таким образом, может оказаться, что:

$${\mathrm{\Psi }}_{obs}\mathrm{\ne }{\mathrm{\Psi }}_{full}$$

Однако из этой аксиомы не следует автоматически делать вывод, что темная материя или темная энергия возникают из масштабной слепоты. Это гипотезы, которые необходимо проверять отдельно.

Аксиома 12: Физическая масштабная структура должна быть измеримой

Это фундаментальное условие, которое не позволяет физике масштаба оставаться лишь философской интерпретацией.

Масштабная зависимость физической системы должна соответствовать величине, измеримой путем наблюдения.

Например, если:

$$Q(s)$$

измеримо, то

$$\frac{dQ}{d\ln s}$$

может быть одной из фундаментальных величин, показывающих изменение в зависимости от масштаба.

Определим:

$${\beta }_Q=\frac{dQ}{d\ln s}$$

Таким образом:

• ${\beta }_Q=0$: область, независимая от масштаба,
• ${\beta }_Q\mathrm{\ne }0$: область, зависимая от масштаба,
• Заметные изменения в ${\beta }_Q$: могут исследоваться как кандидаты на смену режима.

Этот раздел является скорее прямым математическим следствием/инструментом исследования, чем аксиомой.

Аксиома 13: Физика масштаба должна воспроизводить стандартную физику в соответствующем пределе

Новая структура не должна произвольно отменять существующую физику.

Для определенного классического предела $S_0$S0​ ожидается:

$$\underset{s\to s_0}{\lim }{F}_{scale}\to F_{standard}$$

Например, в будущем необходимо отдельно исследовать:

• Масштабная механика $\to$ Ньютоновская механика
• Фрактальная волновая динамика $\to$ Квантовая механика
• Фрактальное пространство-время $\to$ Общая теория относительности

Эти переходы не следует априори принимать как истинные; их необходимо продемонстрировать математически.

Аксиома 14: Физическая ценность теории зависит от ее способности создавать новые межмасштабные прогнозы

Сильная научная версия физики масштаба не должна просто заново интерпретировать существующие явления.

Начиная с начального состояния:

$$\mathrm{\Psi }(s_1)$$

она должна быть способна предсказать состояние в другом масштабе:

$$\mathrm{\Psi }(s_2)=S_{s_2\mathrm{/}{s}_1}\mathrm{\Psi }(s_1)$$

И этот прогноз должен сравниваться с экспериментом:

$${\mathrm{\Psi }}_{theory}(s_2)\leftrightarrow {\mathrm{\Psi }}_{experiment}(s_2)$$

В этом и заключается настоящее научное испытание.

Аксиома 15: Физика масштаба должна быть фальсифицируемой

Я считаю необходимым сформулировать последнюю аксиому особенно жестко:Каждый фундаментальный закон масштаба должен иметь определяемое условие фальсифицируемости.

Например, если теория предсказывает для определенной физической величины:

$$Q(s)\propto s^{\alpha }$$

экспериментальные данные, систематически выходящие за пределы погрешности, допускаемой этой зависимостью, должны требовать отказа от модели.

Поэтому теория не должна говорить только:«Я могу это объяснить.»

В то же время она должна быть способна сказать: «Если произойдет такое измерение, моя модель неверна.»

Давайте упростим аксиоматическое ядро

На самом деле я не предлагаю оставлять эти 15 пунктов в качестве «фундаментальных аксиом» с одинаковым весом. Научно более чистой структурой было бы свести их к 5 основополагающим аксиомам:

I. Аксиома масштаба

$$\mathrm{\Psi }=\mathrm{\Psi }(x,t,s)$$

Физическое состояние определяется параметром масштаба.

II. Аксиома масштабного преобразования

$$\mathrm{\Psi }(s_2)=S_{s_2\mathrm{/}{s}_1}\mathrm{\Psi }(s_1)$$

Физическая связь между масштабами может быть представлена законом преобразования.

III. Аксиома масштабной структуры

Физические системы могут сохранять мотивы, корреляции или структуры взаимодействия в определенных диапазонах масштабов; при критических масштабах они могут переходить в другие режимы.

IV. Аксиома кооперативности

$$E_{system}=\sum _i{E}_i+C(s)$$

Эффективное поведение многокомпонентной системы не обязательно сводится к независимой сумме ее компонентов.

V. Аксиома физической проверяемости

Масштабная зависимость должна давать измеримые результаты, возвращать пределы, в которых применима существующая физика, и создавать фальсифицируемые прогнозы.

На мой взгляд, суть теории

Если сжать это еще больше, мы можем резюмировать физику масштаба одной мыслью:

Физическое состояние = пространство + время + масштаб + отношения между масштабами

Иными словами, если центром тяжести в ньютоновской механике является движение, в теории относительности — пространство-время и наблюдатель, а в квантовой механике — состояние и измерение, то фундаментальной новой осью в структуре, которую я пытаюсь построить, становится:

масштаб и масштабное преобразование.

Следующий критический шаг

Я считаю, что отныне нам не следует сразу переходить к новым физическим приложениям. Мы должны вывести математику из этих аксиом. В частности, если мы установим оператор ${\delta }_{\lambda }$​ в Аксиоме II, работа серьезно продвинется. Потому что тогда мы сможем спросить, выполняется ли

$${\delta }_{{\lambda }_1}{\delta }_{{\lambda }_2}={\delta }_{{\lambda }_1{\lambda }_2}$$

и сможем начать построение Алгебры масштабных преобразований.

Это и станет той точкой, где физика масштаба переходит от аксиом к математической теории.