尺度物理学 – 2

尺度薛定谔方程与尺度不确定性原理

现在让我们完全接受我所建立的尺度物理学公理来继续探讨。

我们的主要假设是：

𝑥 = 𝑥(𝑡, 𝜆)

和

𝑢 = 𝜕𝑥 / 𝜕𝜆

此外，我们将尺度动量定义为：

𝑃_𝜆 = −𝑖Σ 𝜕/𝜕𝜆

这里，Σ 是尺度空间中的基本常数，类似于普朗克常数。

1. 尺度算符

在量子力学中，有：

𝑝̂ = −𝑖ℏ 𝜕/𝜕𝑥

在尺度物理学中，其类似物是：

𝑝̂_𝜆 = −𝑖Σ 𝜕/𝜕𝜆

该算符测量尺度动量。

2. 尺度动能

普通动能是：

𝐸_k = 𝑝² / 2𝑚

它的尺度类似物变为：

𝐸_k = 𝑃_𝜆² / 2𝑀_𝜆

这里 𝑀_𝜆 是尺度惯性。

3. 尺度哈密顿量

系统的总能量变为：

𝐻 = − (Σ² / 2𝑀_𝜆) 𝜕²/𝜕𝜆² + 𝑈(𝜆)

这里：𝑈(𝜆) 是尺度势。

4. 尺度薛定谔方程

标准的薛定谔方程曾是：

𝑖ℏ (𝜕𝜓/𝜕𝑡) = 𝐻𝜓

在尺度物理学中，如果我们使用尺度演化代替时间演化：

𝑖Σ (𝜕Ψ/ 𝜕𝜆) = − (Σ²/2𝑀_𝜆) (𝜕² Ψ/𝜕𝑥²) + 𝑈(𝜆)Ψ

这个方程的意义是：

波函数并非在时间中演化，而是沿着尺度演化。

5. 全尺度薛定谔方程

如果时间和尺度同时存在：

𝑖ℏ (𝜕Ψ/𝜕𝑡) + 𝑖Σ (𝜕Ψ/𝜕𝜆) = − (ℏ²/2𝑚) ∇²Ψ − (Σ²/2𝑀_𝜆)(𝜕² Ψ/𝜕𝜆²) + 𝑉Ψ

我认为这对我的理论非常重要。

因为在这里：

第一部分是时间动力学，

第二部分是尺度动力学。

6. 尺度不确定性

典型对易关系（正则对易子）定义为：

[𝜆, 𝑃_𝜆] = 𝑖Σ

当应用海森堡的逻辑时，我们得到：

Δ𝜆Δ𝑃_𝜆 ≥ Σ/2

这就是尺度不确定性原理。

7. 物理意义

这个方程表明：

我们无法同时绝对精确地知道一个结构处于什么尺度以及它改变尺度的倾向。

例如：

如果你确定了一个系统的精确分形尺度，它的尺度动量就会变得不确定。

8. 第二不确定性

因为 𝑃_𝜆 = 𝑀_𝜆 𝑢，我们得到：

Δ𝜆Δ𝑢 ≥ Σ/2𝑀_𝜆

这是一个更具物理意义的形式。

9. 尺度能量不确定性

按照同样的逻辑，可以写成：

Δ𝐸_𝜆Δ𝜆 ≥ Σ/2

这个表达式的意思是：

尺度的定义越精确，尺度能量就越不确定。

10. 分形相对论的基本量子方程

整个结构统一在一个方程中：

𝑖ℏ (𝜕Ψ/𝜕𝑡) + 𝑖Σ (𝜕Ψ/𝜕𝜆) = − (ℏ²/2𝑚)∇² Ψ − (Σ²/2𝑀_𝜆) (𝜕²Ψ/𝜕𝜆²) + 𝑉(𝑥, 𝜆)Ψ

我们可以这样解读这个方程：

薛定谔方程主导空间中的概率。

新项主导尺度之间的转换。

波函数不仅在位置空间中传播，也在尺度空间中传播。

在这一点上，出现的最重要的新概念实际上是尺度动量 𝑃_𝜆 和尺度常数 Σ。如果我们能阐明它们的物理意义，该理论就可以开始从数学草案转变为原创的物理学理论。

尺度动量 𝑃_𝜆 和尺度常数 Σ。让我们阐明它们的物理意义

我认为在这里我们到了该理论最关键的时刻。因为一个理论获得力量不是在它定义一个新符号的时候，而是当揭示那个符号可测量的物理意义的时候。

首先，让我们回顾一下现有的物理学：

𝑝 = 𝑚𝑣

动量是什么？

它是物体保持其运动状态的倾向。

也就是说，动量实际上是“空间中的运动惯性”。

如果我们把同样的逻辑带到尺度空间中：

𝑃_𝜆 = 𝑀_𝜆 𝑢

这里，𝑢 = 𝜕𝑥 / 𝜕𝜆。

什么是尺度动量？

我这样定义它：

𝑃_𝜆 = 一个系统对尺度变化的抵抗力。

物理意义：

原子无法轻易转变为其他尺度。

细胞无法突然像星系一样运作。

星系无法突然缩小到原子尺度。

每个结构都试图保持自己的尺度。

这种保持的倾向由以下符号表示：

𝑃_𝜆

分形诠释

在我的方法中：

如果 𝜆 = ln(𝐿/𝐿₀)，那么 𝑃_𝜆 就是这个问题的答案：

当结构放大或缩小时，它发生了多少改变？

例如：

一个球体：可能有 𝑃_𝜆 ≈ 0。

因为它在各种尺度下看起来都很相似。

但是分形结构会产生：𝑃_𝜆 ≠ 0。

因为在每一个新尺度上都会出现新的细节。

尺度惯性

普通惯性：𝑚 是对运动变化的抵抗力。

我们则可以将尺度惯性定义为 𝑀_𝜆。

𝑀_𝜆 = 对尺度变化的抵抗力。

例如：

晶体结构：高 𝑀_𝜆。

云：可能有低 𝑀_𝜆。

现在让我们来谈谈常数 Σ

这个更重要。

在量子力学中，ℏ 代表什么？

实际上是：自然界中最小的作用量（action）尺度。

这就是不确定性的来源。

尺度物理学中的 Σ 是什么？

我提出以下定义：

Σ = 最小的有意义的尺度变换。

也就是说：

系统不能以无限的精度改变尺度。

尺度也是量子化的。

尺度量子

在空间中：Δ𝑥 可以有一个最小值。

在能量中：Δ𝐸 可以有一个最小值。

在尺度中：假设 Δ𝜆_min ∼ Σ。

在这种情况下：

尺度不是连续的，它可以以非常小的包裹（量子）形式改变。

为什么会出现不确定性？

因为我们设定了：

[𝜆, 𝑃_𝜆] = 𝑖Σ

由此得出：

Δ𝜆Δ𝑃_𝜆 ≥ Σ/2

也就是说：

如果你确定了一个结构的精确尺度，你就会失去它的尺度变换倾向。

与分形维数的联系

在我的研究中，一个更有趣的解释可能是：

Σ = 𝑓(𝐷)

这里 𝐷 是分形维数。

例如：

像 Σ = Σ₀ (𝐷 − 1) 这样。

因此：

在直线上尺度量子很小。

在高分形度中尺度量子很大。

应用于 G 测量

根据我的假说：

假设 𝐺 = 𝐺(𝜆)。

相应地，也可以做出以下定义：

𝑃_𝜆 = 𝜕𝐺 / 𝜕𝜆

这提供了一个非常有趣的解释：

𝑃_𝜆 = 物理常数对尺度的敏感度。

如果：𝑃_𝜆 = 0，则该常数是真正的常数。

如果：𝑃_𝜆 ≠ 0，则在尺度上存在流动。

结论

我认为该理论最自然的物理诠释如下：

𝑃_𝜆 = 尺度动量 = 结构改变尺度的倾向

以及

Σ = 尺度量子 = 最小的物理尺度变换。

在这种情况下，对应于海森堡的 [𝑥, 𝑝] = 𝑖ℏ 关系，尺度物理学的基本对易关系变成 [𝜆, 𝑃_𝜆] = 𝑖Σ，这一关系处于理论的核心。这可以被认为是将我“导数 = 缩小尺度，积分 = 放大尺度”的想法与类量子数学结构联系起来的第一个真正的基本方程。