引言之后，我们可以建立“尺度物理学”的框架。这不再是标准物理学，而是朝着分形相对论方向发展的新理论框架。
尺度物理学的基本公理
公理 1：没有绝对尺度
爱因斯坦： 没有绝对运动。
尺度物理学： 没有绝对尺度。
每一个结构都可以被看作是另一个结构的： 子尺度， 超尺度。
示例： 原子 ↔ 细胞 ↔ 人类 ↔ 地球 ↔ 星系 是同一分形链的环节。
公理 2：物理量依赖于尺度
经典物理学： 𝑸 = 常数
尺度物理学： 𝑸 = 𝑸(𝝀)
这里的 𝑸 可以是： 质量 时间 能量 引力常数 光速。
公理 3：导数缩小尺度
定义： 𝑫 = 𝒅 / 𝒅𝒕 同时也是 𝑫: 𝝀 → 𝝀 − 𝚫𝝀 的操作。
也就是说： 链条 𝒙 → 𝒗 → 𝒂 是从 宏观 → 介观 → 微观 的尺度下降。
公理 4：积分放大尺度
𝑰 = ∫ 𝒅 𝒕 同时也是 𝑰: 𝝀 → 𝝀 + 𝚫𝝀 的操作。
从加速度开始： 当我们进行 𝒂 → 𝒗 → 𝒙, 尺度正在增加。
公理 5：尺度守恒定律
系统的总结构信息是守恒的。
可以写成： 𝓢 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕
这里 𝓢 可以是尺度熵或尺度作用量。
新坐标
爱因斯坦： 使用 (𝒙, 𝒚, 𝒛, 𝒕)。
尺度物理学： 使用 (𝒙, 𝒚, 𝒛, 𝒕, 𝝀)。
这里： 𝝀 是第五个坐标。
尺度速度
让我们定义一个新量： 𝒖 = 𝝏𝒙 / 𝝏𝝀
这就成为了 “尺度速度”。
物理意义： 当一个结构的尺度发生变化时，它改变了多少？
尺度加速度
𝑨𝝀 = 𝝏𝟐𝒙 / 𝝏𝝀𝟐
这是尺度加速度。
尺度动力学
对应于牛顿定律： 𝑭 = 𝒎𝒂 定义为： 𝑭𝝀 = 𝑴𝝀𝑨𝝀。
这里：
- 𝑭𝝀：尺度力
- 𝑴𝝀：尺度惯性
尺度引力定律
与我的假设一致： 写成 𝑮 = 𝑮(𝝀)。
一个简单的初始模型： 𝑮(𝝀) = 𝑮𝟎𝝀𝜶
这里：
- 𝜶 = 𝟎 ⇒ 经典物理学
- 𝜶 ≠ 𝟎 ⇒ 尺度物理学
尺度时间
时间也依赖于尺度： 𝒕 = 𝒕(𝝀)
因此： 原子时间 生物时间 地质时间 宇宙时间 成为同一事物的不同尺度表现。
基本方程
尺度物理学最基本的方程：
𝒙 = 𝒙(𝒕, 𝝀)
这个方程表明： 位置不仅取决于时间，还取决于尺度。
由此得出两个导数： 𝒗 = 𝝏𝒙 /𝝏𝒕 (时间运动) 和 𝒖 = 𝝏𝒙 / 𝝏𝝀 (尺度运动)
可以取代爱因斯坦的原理
广义相对论的原理： 定律在坐标变换下是不变的。
尺度物理学的原理： 定律在尺度变换下也是不变的。 我们可以称之为“尺度协变原理”。
在这种情况下，我的框架获得了如下的层次结构： 牛顿 ⊂ 爱因斯坦 ⊂ 尺度物理学。
牛顿处理运动，爱因斯坦处理时空，而尺度物理学则将时空和尺度维度放在一起处理。这为分形相对论创造了一个自然的初始公理系统。
让我们为尺度物理学写一组方程
假设我的假设是正确的，我们可以为分形相对论和尺度物理学建立一个最小但一致的方程组。
目标是： 物理学 = 空间 + 时间 + 尺度 必须成立。
1. 基本状态函数
爱因斯坦： 𝒙 = 𝒙(𝒕)
尺度物理学： 𝒙 = 𝒙(𝒕, 𝝀)
这里：
- 𝒕 = 时间
- 𝝀 = 尺度
- 𝒙 = 状态或位置
这是该理论的入门方程。
2. 时间速度
经典速度： 𝒗 = 𝝏𝒙 / 𝝏𝒕
3. 尺度速度
新概念： 𝒖 = 𝝏𝒙 / 𝝏𝝀
物理意义： 系统对尺度变化的响应。
4. 总变化方程
现在，变化来自两个源头。
𝒅𝒙 = (𝝏𝒙 / 𝝏𝒕) 𝒅𝒕 + (𝝏𝒙 / 𝝏𝝀) 𝒅𝝀 或者 𝒅𝒙 = 𝒗 𝒅𝒕 + 𝒖 𝒅𝝀
我认为，这是尺度物理学的第一个基本定律。
5. 尺度加速度
正常加速度： 𝒂 = 𝝏𝟐𝒙 / 𝝏𝒕𝟐
尺度加速度： 𝑨 = 𝝏𝟐𝒙 / 𝝏𝝀𝟐
6. 混合加速度
如果时间和尺度同时变化： 𝑩 = 𝝏𝟐𝒙 / ( 𝝏𝒕 𝝏𝝀 )
这非常重要。 因为系统的时间演化与尺度演化之间的联系是在这里形成的。
7. 尺度牛顿定律
牛顿： 𝑭 = 𝒎𝒂
尺度物理学： 𝑭𝝀 = 𝑴𝝀𝑨
这里：
- 𝑭𝝀 = 尺度力
- 𝑴𝝀 = 尺度惯性
8. 尺度能量
动能： 𝑬𝒌 = (𝟏/𝟐) 𝒎𝒗𝟐
尺度能量： 𝑬𝝀 = (𝟏/𝟐) 𝒎𝝀𝒖𝟐
9. 总能量
𝑬 = (𝟏/𝟐) 𝒎𝒗𝟐 + (𝟏/𝟐) 𝒎𝝀𝒖𝟐 + 𝑽(𝒙, 𝝀)
系统在时间和尺度上都在运动。
10. 尺度场
与我的假设一致： 𝑮 = 𝑮(𝝀) 一般来说 𝑸 = 𝑸(𝝀)
这里的 𝑸 可以是任何物理参数，例如：
- G
- c
- h
- m。
11. 尺度连续性方程
量的守恒： 𝝏𝝆/𝝏𝒕 + 𝛁 ⋅ (𝝆𝒗) + 𝝏/𝝏𝝀 (𝝆𝒖) = 𝟎
这里： 第一项表示时间变化， 第二项表示空间流， 第三项表示尺度流。
12. 尺度时空度程
爱因斯坦： 𝒅𝒔𝟐 = 𝒄𝟐𝒅𝒕𝟐 − 𝒅𝒙𝟐 − 𝒅𝒚𝟐 − 𝒅𝒛𝟐
尺度物理学： 𝒅𝚺𝟐 = 𝒄𝟐𝒅𝒕𝟐 − 𝒅𝒙𝟐 − 𝒅𝒚𝟐 − 𝒅𝒛𝟐 − 𝓵𝒔𝟐𝒅𝝀𝟐
这里 𝓵𝒔 是尺度长度。
这个方程使尺度成为第五个坐标。
13. 尺度协变原理
理论的主要原理： 𝓛(𝒙, 𝒕, 𝝀) = 𝓛(𝒙, 𝒕, 𝝀’)
也就是说，物理定律的形式在尺度变换下必须保持不变。 这是爱因斯坦坐标协变向尺度空间的扩展。
主方程
在我看来，尺度物理学的一行总结可以是这样的：
𝝏𝟐𝒙/𝝏𝒕𝟐 + 𝜷 𝝏𝟐𝒙/𝝏𝝀𝟐 = 𝓕(𝒙, 𝒕, 𝝀)
这里：
- 第一项是时间动力学，
- 第二项是尺度动力学，
- 右边是物理相互作用。
这个方程是最简单的“尺度物理学场方程”候选者，它可以将薛定谔方程中的时间演化、牛顿的运动和我的尺度演化统一在同一屋檐下。
从分形相对论的角度来看，在这个方程之后要采取的一步是给出 𝝀 的精确定义，并推导“尺度动量”和“尺度效应下的 G(\lambda)”的场方程。在这种情况下，理论开始真正转变为一个独立的数学物理框架。
假设我的假设是正确的，让我们将尺度物理学向前推进一步，并定义缺失的概念。
1. 尺度坐标
首先，让我们把尺度作为一个坐标。 𝝀 = 𝐥𝐧 (𝑳/𝑳𝟎)
这里：
- 𝑳 = 观测尺度
- 𝑳𝟎 = 参考尺度
示例：
- 原子尺度 → 负 λ
- 人类尺度 → λ≈0
- 宇宙尺度 → 正 λ
这个定义的优点是： 𝝀𝟏 + 𝝀𝟐 对应于尺度的乘积。
2. 尺度动量
经典动量： 𝒑 = 𝒎𝒗
尺度动量： 𝒑𝝀 = 𝒎𝝀𝒖
其中 𝒖 = 𝝏𝒙 / 𝝏𝝀 是尺度速度。
含义： 系统对尺度变化的抵抗程度是多少？
3. 尺度质量
正常质量： 𝒎
尺度质量： 𝒎𝝀 = 𝝏𝒎 / 𝝏𝝀
它显示了结构在不同尺度下的有效质量变化。
4. 尺度力
牛顿： 𝑭 = 𝒅𝒑 / 𝒅𝒕
尺度力： 𝑭𝝀 = 𝝏𝒑𝝀 / 𝝏𝝀
试图将系统转移到另一个尺度的作用。
5. 尺度能量
𝑬𝝀 = (𝟏/𝟐) 𝒎𝝀𝒖𝟐
总能量： 𝑬 = 𝒎𝒄𝟐 + (𝟏/𝟐) 𝒎𝒗𝟐 + (𝟏/𝟐) 𝒎𝝀𝒖𝟐
因此，能量由三部分组成： 内能 运动能量 尺度能量
6. 尺度不确定性
量子力学的类比： 𝚫𝒙 𝚫𝒑𝝀 ≥ 𝚺
这里 𝚺 是尺度常数。
这个表达式表明： 无法同时准确知道结构的确切位置和尺度行为。
7. 尺度几何
时空： (𝒙, 𝒚, 𝒛, 𝒕)
尺度物理学： (𝒙, 𝒚, 𝒛, 𝒕, 𝝀)
度规： 𝒅𝚺𝟐 = 𝒄𝟐𝒅𝒕𝟐 − 𝒅𝒙𝟐 − 𝒅𝒚𝟐 − 𝒅𝒛𝟐 − 𝓵𝒔𝟐𝒅𝝀𝟐
这里 𝓵𝒔 是尺度长度。
8. 尺度场
让我们定义一个新场： 𝚽(𝒙, 𝒕, 𝝀)
这个场统一了： 几何 物质 尺度效应。
9. 尺度场方程
基本方程： 𝝏𝟐𝚽/𝝏𝒕𝟐 − 𝒄𝟐𝛁𝟐𝚽 + 𝜷 𝝏𝟐𝚽/𝝏𝝀𝟐 = 𝑱
这里： 第一项是时间演化， 第二项是空间传播， 第三项是尺度传播， 𝑱 是源项。
这个方程可以被认为是尺度物理学的“麦克斯韦方程”或“场方程”。
10. 尺度爱因斯坦方程
让我们进入主要目标。
爱因斯坦： 𝑮𝝁𝝂 = 𝟖𝝅𝑻𝝁𝝂
在尺度物理学中： 𝑮𝝁𝝂 + 𝑺𝝁𝝂 = 𝟖𝝅𝑻𝝁𝝂
这里 𝑺𝝁𝝂 是尺度张量。
定义： 𝑺𝝁𝝂 = 𝝏𝒈𝝁𝝂 / 𝝏𝝀
也就是说，它是时空相对于尺度的变化。
11. 尺度引力常数
与我的假设一致，令： 𝑮(𝝀) = 𝑮𝟎𝒆𝜶𝝀 特别合适。
因为： 当 𝝀 = 𝟎 时，得到 𝑮 = 𝑮𝟎。
12. 尺度相对论的基本定律
如果我们将整个理论总结为一行：
𝒅/𝒅𝒕 ↔ 缩小尺度 ∫ 𝒅 𝒕 ↔ 放大尺度
所有物理量定义为 𝑸 = 𝑸(𝒕, 𝝀)。
在这个框架中，牛顿、爱因斯坦和量子力学现在变成了特例：
当取 𝝏 / 𝝏𝝀 = 𝟎 时，尺度物理学 ⟶ 还原为标准物理学。
我认为，下一步合乎逻辑的是为这个理论写一个尺度拉格朗日量： 𝓛 = 𝓛(𝚽, 𝝏𝒕, 𝚽, 𝛁𝚽𝝏𝝀𝚽) 并从单一的作用量原理推导出所有方程。这将是把该理论转变为真正的数学物理结构的步骤。
现在，让我们把尺度物理学从“公理”中拿出来，真正将其建立在作用量原理（action principle）之上。在物理学中，一个理论只有在拉格朗日量的基础上建立起来，才开始成熟。
1. 基本变量
基本场： 𝚽 = 𝚽(𝒙𝝁, 𝝀)
这里： 𝒙𝝁 = (𝒄, 𝒕, 𝒙, 𝒚𝒛) 且 𝝀 是尺度坐标。
因此，宇宙现在定义在以下空间中： (𝒄, 𝒕, 𝒙, 𝒚, 𝒛𝝀)。
2. 尺度拉格朗日量
最简形式： 𝓛 = (𝟏/𝟐) 𝝏𝝁𝚽𝝏𝝁𝚽 − (𝜷/𝟐) (𝝏𝚽/𝝏𝝀)𝟐 − 𝑽(𝚽, 𝝀)
这里： 第一项 𝝏𝝁𝚽𝝏𝝁𝚽 是时空运动， 第二项 (𝝏𝚽/𝝏𝝀)𝟐 是尺度运动。
3. 作用量
𝑺 = 𝓛 𝒅𝟒𝒙 𝒅𝝀
现在，系统不仅在时空中，而且在尺度空间中进行积分。
4. 尺度欧拉-拉格朗日方程
如果应用标准程序，可以得到： 𝝏𝝁𝝏𝝁𝚽 − 𝜷(𝝏𝟐𝚽/𝝏𝝀𝟐) + 𝝏𝑽/𝝏𝚽 = 𝟎 。
这是尺度物理学的第一个场方程。
5. 尺度波
如果： 𝑽 = 𝟎 则得到 𝝏𝝁𝝏𝝁𝚽 − 𝜷 (𝝏𝟐𝚽/𝝏𝝀𝟐) = 𝟎 。
这个方程表明： 场不仅可以在时空中传播，还可以在尺度维度中传播。
6. 尺度动量
从拉格朗日量中： 𝑷𝝀 = 𝝏𝓛 / 𝝏(𝝏𝝀𝚽) 得到。
结果： 𝑷𝝀 = −𝜷 𝝏𝚽/𝝏𝝀
这是尺度动量。
7. 尺度守恒定律
根据诺特方法， 如果拉格朗日量不显式依赖于 λ， 则得到 𝒅𝑷𝝀 / 𝒅𝝀 = 𝟎 。
这就成为“尺度动量守恒”。
8. 尺度能量
哈密顿密度变为： 𝓗 = (𝟏/𝟐) (𝝏𝒕𝚽)𝟐 + (𝟏/𝟐) (𝛁𝚽)𝟐 + (𝜷/𝟐) (𝝏𝝀𝚽)𝟐 + 𝑽。
这里的新能量项： 𝑬𝝀 = (𝜷/𝟐) (𝝏𝝀𝚽)𝟐 是尺度能量。
9. 尺度曲率
现在让我们将其与爱因斯坦联系起来。
设度规为： 𝒈𝑨𝑩。
这里 𝑨, 𝑩 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒 并让第一个索引代表尺度。
也就是说： 𝒙𝟒 = 𝝀
新度程变为： 𝒅𝚺𝟐 = 𝒈𝑨𝑩𝒅𝒙𝑨𝒅𝒙𝑩。
10. 尺度爱因斯坦方程
现在场方程变为： 𝑹𝑨𝑩 − (𝟏/𝟐) 𝒈𝑨𝑩𝑹 = 𝟖𝝅𝑻𝑨𝑩。
张量现在是5维的。 尺度维度也包含在动力学中。
11. 尺度 G
与我的假设一致，令： 𝑮(𝝀) = 𝑮𝟎𝒆𝜶𝝀。
因此爱因斯坦方程变为： 𝑹𝑨𝑩 − (𝟏/𝟐) 𝒈𝑨𝑩𝑹 = 𝟖𝝅𝑮(𝝀)𝑻𝑨𝑩。
12. 尺度物理学的主方程
如果我们把整个理论简化为一个表达式：
□𝚽 − 𝜷 (𝝏𝟐𝚽/𝝏𝝀𝟐) + 𝝏𝑽/𝝏𝚽 = 𝟎
这里 □ = 𝝏𝝁𝝏𝝁 是标准的时空算符。
13. 尺度相对论的基本原理
最后的公理： 物理定律在坐标变换和尺度变换下都是协变的。
也就是说，爱因斯坦的 (𝒙, 𝒕) 相对论，在我的框架中变成了 (𝒙, 𝒕, 𝝀) 相对论。
这个结构不再仅仅是一个“哲学理念”，而是成为了一个初级的“分形尺度物理学”数学核心，其中包含：
- 尺度坐标 𝝀
- 尺度动量 𝑷𝝀
- 尺度能量 𝑬𝝀
- 尺度守恒定律
- 尺度场方程
- 尺度爱因斯坦方程。